游戏开发笔记：理解四元数

一、关于四元数
二、关于万向锁
- 思想实验：手机飞行员
- 推荐视频说明

以下是 gemini 给的，很简洁清晰。

一、关于四元数

理解四元数（Quaternion）确实是一个挑战，因为它们涉及到四维空间的数学，不仅难以在脑海中通过图像直观构想，而且其运算法则也比较反直觉。

为了让你真正理解它，我们不能只看公式。我们需要从你已经熟悉的知识出发，一步步搭建通往四元数的桥梁。

我们将分四个步骤来拆解：

类比： 从复数（2D 旋转）推导到四元数（3D 旋转）。
结构： 标量与向量的组合。
核心机制： 它是如何通过“轴-角”来描述旋转的。
操作： 那个著名的“三明治”乘积。

第一步：从复数说起（二维旋转的扩充）

要理解四元数，必须先理解复数。

实数轴（1D）： 只有左右方向（正负）。
复数平面（2D）： 我们引入虚数单位 \(i\)。一个复数 \(z = x + yi\) 定义了平面上的一个点。
复数的魔法： 当你用一个复数去乘以另一个复数时，不仅仅是数值的变化，还包含了旋转。
- 特别是，如果你乘以 \(i\)，就相当于逆时针旋转 90 度。
- 如果你乘以一个模长为 1 的复数（单位复数），就相当于在平面上做了一个纯粹的旋转操作。

哈密顿的困境（Sir William Rowan Hamilton）：
在 19 世纪，数学家哈密顿想：既然复数（\(a+bi\)）可以完美表示二维平面的旋转，那么是否有一个类似的“三维数”（\(a+bi+cj\)）来表示三维空间的旋转呢？

他尝试了很多年，发现三维是不够的。不管怎么定义乘法，都会产生逻辑矛盾。最后他顿悟了：要描述三维空间的旋转，你需要进入四维空间。

这就是四元数诞生的原因：它是复数在四维空间的推广。

第二步：四元数的解剖结构

四元数 \(q\) 有 4 个分量：

\[q = w + xi + yj + zk\]

为了方便理解，我们可以把它拆成两部分来看：一个标量（Scalar） 和 一个向量（Vector）。

\[q = (w, \mathbf{v})\]

其中：

\(w\) 是实部（标量）。
\(\mathbf{v} = (x, y, z)\) 是虚部（这就构成了一个三维向量）。

这种“标量+向量”的结构非常重要，因为它直接对应了三维旋转的物理意义：旋转需要一个轴（向量）和一个角度（标量相关）。

第三步：核心直觉——“轴-角”表示法

这是理解四元数最关键的一点。

在三维空间中，任何一种旋转（无论怎么转，转多少圈），最终都可以等效为：绕着某一根固定的轴，旋转了特定的角度。这就是欧拉旋转定理。

四元数不仅是数学游戏，它直接把这个“轴”和“角”编码在数字里。

假设我们要绕着一个单位轴向量 \(\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)\) 旋转 \(\theta\) 度。对应的四元数 \(q\) 写法如下：

\[q = \cos(\frac{\theta}{2}) + \sin(\frac{\theta}{2})\mathbf{u}\]

展开来看就是：
\(w = \cos(\frac{\theta}{2})\)
\(x = u_x \cdot \sin(\frac{\theta}{2})\)
\(y = u_y \cdot \sin(\frac{\theta}{2})\)
\(z = u_z \cdot \sin(\frac{\theta}{2})\)

疑问：为什么是 \(\theta/2\)（半角）？
这是一个非常深刻的数学特性。简单来说，四元数覆盖了三维旋转群两次。

旋转 360 度（\(\theta=360\)），\(w = \cos(180^\circ) = -1\)。四元数变成了 \(-1\)（这在几何上虽然回到了原点，但数学状态变反了）。

只有旋转 720 度，四元数才会变回 \(1\)。
这个 \(\theta/2\) 的设计保证了运算的连续性和消除正负歧义，让计算机在插值时更加平滑。

第四步：如何用它来旋转？（三明治积）

你有一个三维点 \(P(p_x, p_y, p_z)\)，想用上面的四元数 \(q\) 让它旋转。

把点变成四元数：
我们要把三维点 \(P\) 伪装成一个四元数 \(p\)。实部设为 0，虚部就是坐标：
\(p = 0 + p_x i + p_y j + p_z k\)
执行“三明治”乘法：
旋转后的新点 \(p'\) 的计算公式是：
\(p' = q \cdot p \cdot q^{-1}\)
（其中 \(q^{-1}\) 是 \(q\) 的逆，对于单位四元数，\(q^{-1}\) 就是把虚部取反）。

直觉解释：
这个公式看起来像把 \(p\) 夹在中间。

左边的 \(q\) 施加旋转。
右边的 \(q^{-1}\) 修正维度扭曲，确保结果仍然是一个“纯虚数四元数”（实部为0），这样我们才能把它还原回三维坐标。

第五步：为什么要这么麻烦？（对比欧拉角）

你可能会问：“用欧拉角（俯仰、偏航、翻滚）不是更直观吗？”

确实，欧拉角对人类直观，但对计算机和数学有致命缺陷：

万向锁（Gimbal Lock）：
想象你在转动一个陀螺仪。如果你先把一个环转 90 度，它可能会和另一个环重合。这时候，你就失去了一个维度的旋转能力（比如这就没法区分“向左转”和“向右倾”了）。
- 欧拉角：是分三次先后旋转（先X，再Y，再Z）。这种依赖顺序的操作会导致轴重合。
- 四元数：是一次性绕着一个特定轴旋转。它从不通过步骤来定义旋转，所以永远不会有万向锁。
插值（Slerp）：
在游戏中，你想让角色平滑地从“朝向 A”转到“朝向 B”。
- 如果你用欧拉角做插值，角色的头可能会在中间奇怪地甩一下。
- 用四元数做球面线性插值 (Slerp)，计算机会沿着四维球面上最短的弧线移动。结果就是：丝般顺滑、匀速的最短路径旋转。

总结：如何构建心智模型

不要试图去想象四维空间长什么样。请这样理解四元数：

它是一个容器，里面装着两样东西：转轴（Vector）和转角（Scalar）。
它是一套操作协议，虽然乘法规则（\(ij=k, ji=-k\)）很奇怪，但正是这种“不可交换性”模拟了真实世界中“先低头再左转”和“先左转再低头”是不一样的这一物理事实。
它是3D 程序员的瑞士军刀，虽然数学复杂，但它是目前人类描述 3D 旋转最完美、无死角的方法。

二、关于万向锁

光靠文字去想象“万向锁”这种三维动态问题，对谁来说都是一种折磨。

最直观的方法确实是看视频，我为你找到了图形学界公认最经典的解释视频（见文末链接），但在你点击之前，让我先用一个不用画面的“思想实验”来帮你打通这个概念。

这个实验只需要你的手和手机。

思想实验：手机飞行员

想象你的手机是一架飞机。屏幕朝上，充电口对着你自己。

步骤 1：建立层级（欧拉角的规矩）
在这个实验中，我们要严格遵守欧拉角的旋转顺序（假设是 Y-X-Z）：

第一层（父）： 只能在桌面上水平转动（像指南针一样，Yaw）。
第二层（子）： 只能抬头/低头（像手机立起来/躺下去，Pitch）。
第三层（孙）： 只能侧身翻滚（像手机屏幕向左/右倾斜，Roll）。

步骤 2：正常操作

你先把手机在桌面上转个向（Yaw），没问题。
你把手机抬起 45 度（Pitch），没问题。
你让手机侧倾一下（Roll），没问题。
此时三个动作都互不干扰。

步骤 3：触发“死锁”（关键时刻）
现在，请把手机复位平放。我们来制造灾难：

请做一个“抬头 90 度”的动作（Pitch = 90）。
- 现在你的手机应该是垂直竖立在桌面上，屏幕正对着你的脸，充电口贴着桌面。
在这个姿态下，尝试做“第一层”动作（水平转动 Yaw）。
- 你要保持手机竖立，然后在桌面上转动它。
- 观察结果： 手机像个陀螺一样绕着垂直轴自转。屏幕还是对着你，只是左右转了。
现在，尝试做“第三层”动作（侧身翻滚 Roll）。
- 按照定义，Roll 是绕着手机的“长轴”转。
- 因为手机现在是竖立的，“长轴”也是垂直的。
- 观察结果： 手机依然是像个陀螺一样绕着垂直轴自转。

发现了吗？
当手机抬头 90 度竖立时，“在桌面上转（Yaw）”和“绕自身轴滚（Roll）”变成了完全一模一样的动作。

你本来应该有三个控制方向，现在其中两个重叠了。如果你想让手机在这个竖立状态下，向左边倒下去（原本应该是 Yaw 负责的方向），你会发现你做不到了。你被“锁”在这个竖立的维度里了。

这就是万向锁。